- Cover
- Prefacio
- Contenido
- 1 Introducción
- 1.1 Observaciones preliminares
- Dígitos significativos de precisión: ejemplos
- Errores: absoluto y relativo
- Exactitud y precisión
- Redondeo y truncamiento
- Multiplicación anidada
- Parejas de problemas fácil/difícil
- Primer experimento de programación
- Software matemático
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 1.1*
- Problemas de cómputo 1.1
- 1.2 Repaso de series de Taylor
- Series de Taylor
- TEOREMA 1Serie de Taylor formal para f con respecto a c
- Algoritmo completo de Horner
- Teorema de Taylor en términos de (x — c)
- TEOREMA 2 Teorema de Taylor para f (x)
- Teorema del valor medio
- TEOREMA 3 Teorema del valor medio
- Teorema de Taylor en términos de h
- COROLARIO 1 Teorema del valor medio para f (x + h)
- Series alternantes
- TEOREMA 4 Teorema de series alternantes
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 1.2
- Problemas de cómputo 1.2
- 2 Representación de punto flotante y errores
- 2.1 Representación de punto flotante
- Representación de punto flotante normalizada
- Representación de punto flotante
- Forma de punto flotante de precisión simple
- Forma de punto flotante de doble precisión
- Errores de cómputo en la representación de números
- Notación fl(x) y análisis de error hacia atrás
- Notas históricas
- Resumen
- Problemas 2.1
- Problemas de cómputo 2.1
- 2.2 Pérdida de significancia
- Dígitos significativos
- Pérdida de significancia causada por la computación
- Teorema de pérdida de precisión
- TEOREMA 1 Teorema de pérdida de precisión
- Cómo evitar la pérdida de significancia en la resta
- Reducción de rango
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 2.2
- Problemas de cómputo 2.2
- 3 Localización de raíces de ecuaciones
- 3.1 Método de bisección
- Introducción
- Algoritmo y seudocódigo de la bisección
- Ejemplos
- Análisis de convergencia
- TEOREMA 1 Teorema del método de bisección
- Método de falsa posición (regula falsi) y modificaciones
- Resumen
- Problemas 3.1
- Problemas de cómputo 3.1
- 3.2 Método de Newton
- Interpretaciones del método de Newton
- Seudocódigo
- Ilustración
- Análisis de convergencia
- TEOREMA 1 Teorema del método de Newton
- Sistemas de ecuaciones no lineales
- Cuencas de atracción de fractales
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 3.2
- Problemas de cómputo 3.2
- 3.3 Método de la secante
- Algoritmo de la secante
- Análisis de convergencia
- Comparación de métodos
- Esquemas híbridos
- Iteración de punto fijo
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 3.3
- Problemas de cómputo 3.3
- 4 Interpolación y diferenciación numérica
- 4.1 Interpolación polinomial
- Observaciones preliminares
- Interpolación polinomial
- Polinomio de interpolación: forma de Lagrange
- Existencia de la interpolación de polinomios
- TEOREMA 1 Teorema de la existencia de la interpolación polinomial
- Interpolación polinomial: forma de Newton
- Forma anidada
- Cálculo de coeficientes ai usando diferencias divididas
- ALGORITMO 1 Un algoritmo para calcular las diferencias divididas de f
- TEOREMA 2 Propiedad recursiva de diferencias divididas
- TEOREMA 3 Teorema de la invarianza
- Algoritmos y seudocódigo
- Matriz de Vandermonde
- Interpolación inversa
- Interpolación polinomial con el algoritmo de Neville
- TEOREMA 4 Propiedades de interpolación
- Interpolación de funciones de dos variables
- Resumen
- Problemas 4.1
- Problemas de cómputo 4.1
- 4.2 Errores en la interpolación polinomial
- Función de Dirichlet
- Función de Runge
- Teoremas de errores de interpolación
- TEOREMA 1 Errores de interpolación I
- LEMA 1 Lema de límite superior
- TEOREMA 2 Errores de interpolación II
- TEOREMA 3 Errores de interpolación III
- TEOREMA 4 Diferencias divididas y derivadas
- COROLARIO 1 Diferencias divididas
- Resumen
- Problemas 4.2
- Problemas de cómputo 4.2
- 4.3 Cálculo de derivadas y extrapolación de Richardson
- Fórmulas de primera derivada mediante series de Taylor
- Extrapolación de Richardson
- TEOREMA 1 Teorema de la extrapolación de Richardson
- ALGORITMO 2 Extrapolación de Richardson
- Fórmulas de primera derivada mediante interpolación de polinomios
- Fórmulas de segunda derivada mediante series de Taylor
- Ruido en cálculos
- Resumen
- Referencias adicionales del capítulo 4
- Problemas 4.3
- Problemas de cómputo 4.3
- 5 Integración numérica
- 5.1 Sumas inferior y superior
- Integrales definidas e indefinidas
- Sumas inferior y superior
- Funciones integrables de Riemann
- TEOREMA 1 Teorema de la integral de Riemann
- Ejemplos y seudocódigo
- Resumen
- Problemas 5.1
- Problemas de cómputo 5.1
- 5.2 Regla del trapecio
- Espaciado uniforme
- Análisis de error
- TEOREMA 2 Teorema de precisión de la regla del trapecio
- Aplicación de la fórmula de error
- Fórmula recursiva del trapecio para subintervalos iguales
- TEOREMA 2 Fórmula recursiva del trapecio
- Integración multidimensional
- Resumen
- Problemas 5.2
- Problemas de cómputo 5.2
- 5.3 Algoritmo de Romberg
- Descripción
- Pseudocódigo
- Fórmula de Euler-Maclaurin
- TEOREMA 1 Fórmula de Euler-Maclaurin y término de error
- Extrapolación general
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 5.3
- Problemas de cómputo 5.3
- 6 Temas adicionales de integración numérica
- 6.1 Regla de Simpson y adaptable de Simpson
- Regla básica de Simpson
- Regla de Simpson
- Regla compuesta de Simpson
- Un esquema adaptable de Simpson
- Ejemplo del uso del procedimiento adaptable de Simpson
- Reglas de Newton-Cotes
- Resumen
- Problemas 6.1
- Problemas de cómputo 6.1
- 6.2 Fórmulas de cuadratura gaussiana
- Descripción
- Cambio de intervalos
- Nodos gaussianos y pesos
- TEOREMA 1 Teorema de la cuadratura gaussiana
- Polinomios de Legendre
- TEOREMA 2 Teorema de cuadratura gaussiana pesada
- Integrales con singularidades
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 6.2
- Problemas de cómputo 6.2
- 7 Sistemas de ecuaciones lineales
- 7.1 Eliminación gaussiana simple
- Un gran ejemplo numérico
- Algoritmo
- Seudocódigo
- Prueba del seudocódigo
- Vectores residual y de error
- Resumen
- Problemas 7.1
- Problemas de cómputo 7.1
- 7.2 Eliminación gaussiana con pivoteo escalado parcial
- La eliminación gaussiana simple puede fallar
- Pivoteo parcial y pivoteo completo parcial
- Eliminación gaussiana con pivoteo escalado parcial
- Un gran ejemplo numérico
- Seudocódigo
- Conteo de operaciones largas
- TEOREMA 1 Teorema de operaciones largas
- Estabilidad numérica
- Escalamiento
- Resumen
- Problemas 7.2
- Problemas de cómputo 7.2
- 7.3 Sistemas tridiagonales y en banda
- Sistemas tridiagonales
- Dominio estrictamente diagonal
- DEFINICIÓN 1 Dominio estrictamente diagonal
- Sistemas pentadiagonales
- Sistemas pentadiagonales de bloque
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 7.3
- Problemas de cómputo 7.3
- 8 Temas adicionales referentes a sistemas de ecuaciones lineales
- 8.1 Factorizaciones matriciales
- Ejemplo numérico
- Deducción formal
- TEOREMA 1 Teorema factorización LU
- Seudocódigo
- Resolución de sistemas lineales usando factorización LU
- Factorización LDLT
- Factorización de Cholesky
- TEOREMA 2 Teorema de Cholesky acerca de la factorización LL T
- Múltiples lados derechos
- Cálculo A¯¹
- Ejemplo con uso de paquetes de software
- Resumen
- Problemas 8.1
- Problemas de cómputo 8.1
- 8.2 Soluciones iterativas de sistemas lineales
- Normas de vector y matriz
- Número de condición y mal condicionado
- Métodos iterativos básicos
- Seudocódigo
- Teoremas de convergencia
- TEOREMA 1 Teorema del radio espectral
- TEOREMA 2 Teorema de convergencia de Jacobi y de Gauss-Seidel
- DEFINICIÓN 1 Simétrica positiva definida
- TEOREMA 3 Teorema de convergencia SOR
- Formulación matricial
- Otra visión de la sobrerrelajación
- Método del gradiente conjugado
- Resumen
- Problemas 8.2
- Problemas de cómputo 8.2
- 8.3 Valores propios y vectores propios
- Cálculo de valores propios y vectores propios
- Software matemático
- Propiedades de los valores propios
- TEOREMA 1 Propiedades de la matriz de valores propios
- TEOREMA 2 Valores propios de matrices semejantes
- TEOREMA 3 Teorema de Schur
- COROLARIO 1 Matriz semejante a una matriz triangular
- COROLARIO 2 Matriz hermitiana unitariamente semejante a una matriz diagonal
- Teorema de Gershgorin
- TEOREMA 4 Teorema de Gershgorin
- COROLARIO 3 Más discos de Gershgorin
- COROLARIO 4
- COROLARIO 5
- Descomposición en valor singular
- TEOREMA 5 Teorema espectral de matrices
- TEOREMA 6 Teorema de bases ortogonales
- Ejemplos numéricos de descomposición en valor singular
- Aplicación: ecuaciones diferenciales lineales
- TEOREMA 7 Ecuaciones diferenciales lineales
- Aplicación: un problema de vibración
- Resumen
- Problemas 8.3
- Problemas de cómputo 8.3
- 8.4 Método de potencias
- Algoritmos del método de potencias
- Aceleración de Aitken
- Método de potencias inverso
- Ejemplos con software: método de potencias inverso
- Método de potencias (inverso) desplazado
- Ejemplo: método de potencias inverso desplazado
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 8.4
- Problemas de cómputo 8.4
- 9 Aproximación por funciones spline
- 9.1 Splines de primer y segundo grado
- Spline de primer grado
- DEFINICIÓN 1 Spline de primer grado
- Módulo de continuidad
- TEOREMA 1 Teorema de exactitud del polinomio de primer grado
- TEOREMA 2 Teorema de exactitud del spline de primer grado
- Splines de segundo grado
- DEFINICIÓN 2 Spline de segundo grado
- Interpolación del spline cuadrático Q(x)
- ALGORITMO 1 Interpolación de spline cuadrático en los nudos
- Spline cuadrático de Subbotin
- Resumen
- Problemas 9.1
- Problemas de cómputo 9.1
- 9.2 Splines cúbicos naturales
- Introducción
- DEFINICIÓN 1 Spline de grado k
- Spline cúbico natural
- Algoritmo para el spline cúbico natural
- ALGORITMO 1 Solución directa del sistema tridiagonal del spline cúbico natural
- Seudocódigo para splines cúbicos naturales
- Uso de seudocódigo para interpolar y ajustar curvas
- Curvas espaciales
- Propiedad de suavidad
- TEOREMA 1 Teorema de suavidad del spline cúbico
- Resumen
- Problemas 9.2
- Problemas de cómputo 9.2
- 9.3 Splines B: interpolación y aproximación
- Interpolación y aproximación con splines B
- Seudocódigo y ejemplo de un ajuste de curva
- Proceso de Schoenberg
- Seudocódigo
- Curvas de Bézier
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 9.3
- Problemas de cómputo 9.3
- 10 Ecuaciones diferenciales ordinarias
- 10.1 Métodos de series de Taylor
- Problema con valor inicial: solución analítica contra numérica
- Ejemplo de un problema práctico
- Resolución de ecuaciones diferenciales e integración
- Campos vectoriales
- TEOREMA 1 Unicidad del problema con valores iniciales
- Métodos de series de Taylor
- Seudocódigo del método de Euler
- Método de la serie de Taylor de orden superior
- Tipos de errores
- Método de la serie de Taylor usando cálculos simbólicos
- Resumen
- Problemas 10.1
- Problemas de cómputo 10.1
- 10.2 Métodos de Runge-Kutta
- Serie de Taylor para f (x, y)
- Método de Runge-Kutta de orden 2
- Método de Runge-Kutta de orden 4
- Seudocódigo
- Resumen
- Problemas 10.2
- Problemas de cómputo 10.2
- 10.3 Estabilidad y adaptación de los métodos de Runge-Kutta y de multipaso
- Un método adaptado de Runge-Kutta-Fehlberg
- ALGORITMO 1 Panorama de un proceso adaptado
- Un ejemplo industrial
- Fórmulas de Adams-Bashforth-Moulton
- Análisis de estabilidad
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 10.3
- Problemas de cómputo 10.3
- 11 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias
- 11.1 Métodos para sistemas de primer orden
- Sistemas desacoplados y acoplados
- Método de series de Taylor
- Notación vectorial
- Sistemas de EDO
- Método de series de Taylor: notación vectorial
- Método de Runge-Kutta
- EDO autónoma
- Resumen
- Problemas 11.1
- Problemas de cómputo 11.1
- 11.2 Ecuaciones de orden superior y sistemas
- Ecuaciones diferenciales de orden superior
- Sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior
- Sistemas de EDO autónomas
- Resumen
- Problemas 11.2
- Problemas de cómputo 11.2
- 11.3 Métodos de Adams–Bashforth–Moulton
- Un esquema predictor–corrector
- Seudocódigo
- Un esquema adaptado
- Un ejemplo de ingeniería
- Algunas observaciones acerca de las ecuaciones rígidas
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 11.3
- Problemas de cómputo 11.3
- 12 Suavizado de datos y el método de mínimos cuadrados
- 12.1 Método de mínimos cuadrados
- Recta de mínimos cuadrados
- ALGORITMO 1 Recta de mínimos cuadrados
- Ejemplo lineal
- Ejemplo no polinomial
- Funciones base {g0, g1, . . . , gn}
- Resumen
- Problemas 12.1
- Problemas de cómputo 12.1
- 12.2 Sistemas ortogonales y polinomios de Chebyshev
- Funciones base ortonormales {g0, g1, . . . , gn}
- Diseño de algoritmo
- Suavizado de datos: regresión polinomial
- PROPIEDADES Definición de propiedades de un producto interno
- Resumen
- Problemas 12.2
- Problemas de cómputo 12.2
- 12.3 Otros ejemplos del principio de mínimos cuadrados
- Uso de una función de peso w(x)
- Ejemplo no lineal
- Ejemplo lineal y no lineal
- Detalles adicionales en DVS
- TEOREMA 1 Teorema DVS de mínimos cuadrados
- Uso de la descomposición de valor singular
- TEOREMA 2 Teorema de solución mínima
- TEOREMA 3 Propiedades de Penrose de la seudoinversa
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 12.3
- Problemas de cómputo 12.3
- 13 Métodos de Monte Carlo y simulación
- 13.1 Números aleatorios
- Algoritmos y generadores de números aleatorios
- ALGORITMO 1 Madre de todos los generadores de números seudoaleatorios
- ALGORITMO 2 rand ( ) en Unix
- PROPIEDADES
- Ejemplos
- Uso del seudocódigo Aleatorio
- Resumen
- Problemas 13.1
- Problemas de cómputo 13.1
- 13.2 Cálculo de áreas y volúmenes mediante técnicas de Monte Carlo
- Integración numérica
- Ejemplo y seudocódigo
- Cálculo de volúmenes
- Ejemplo del barquillo de helado
- Resumen
- Problemas 13.2
- Problemas de cómputo 13.2
- 13.3 Simulación
- Problema del dado cargado
- Problema del cumpleaños
- Problema de la aguja de Buffon
- Problema de dos dados
- Escudo de neutrones
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas de cómputo 13.3
- 14 Problemas con valores en la frontera para ecuaciones diferenciales ordinarias
- 14.1 Método de disparo
- Algoritmo del método de disparo
- Modificaciones y refinamientos
- Resumen
- Problemas 14.1
- Problemas de cómputo 14.1
- 14.2 Un método de discretización
- Aproximaciones por diferencias finitas
- El caso lineal
- Seudocódigo y ejemplo numérico
- Método de disparo en el caso lineal
- Seudocódigo y ejemplo numérico
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 14.2
- Problemas de cómputo 14.2
- 15 Ecuaciones diferenciales parciales
- 15.1 Problemas parabólicos
- Algunas ecuaciones diferenciales parciales de problemas de aplicación
- Problema modelo de la ecuación de calor
- Método de diferencias finitas
- Seudocódigo para el método explícito
- Método de Crank-Nicolson
- Seudocódigo para el método de Crank-Nicolson
- Versión alternativa del método de Crank-Nicolson
- Estabilidad
- Resumen
- Problemas 15.1
- Problemas de cómputo 15.1
- 15.2 Problemas hiperbólicos
- Problema modelo de la ecuación de onda
- Solución analítica
- Solución numérica
- Seudocódigo
- Ecuación de advección
- Método de Lax
- Método contra el viento
- Método de Lax-Wendroff
- Resumen
- Problemas 15.2
- Problemas de cómputo 15.2
- 15.3 Problemas elípticos
- Problema modelo de la ecuación de Helmholtz
- Método de diferencias finitas
- Método iterativo de Gauss-Seidel
- Ejemplo numérico y seudocódigo
- Métodos de elemento finito
- Más de elementos finitos
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 15.3
- Problemas de cómputo 15.3
- 16 Minimización de funciones
- 16.1 Caso de una variable
- Problemas de minimización con y sin restricciones
- Caso de una variable
- Funciones unimodales F
- Algoritmo de búsqueda de Fibonacci
- Algoritmo de búsqueda de la sección áurea
- Algoritmo de interpolación cuadrática
- Resumen
- Problemas 16.1
- Problemas de cómputo 16.1
- 16.2 Caso de variables múltiples
- Series de Taylor para F: vector gradiente y matriz hessiana
- Forma alternativa de la serie de Taylor
- Procedimiento de máxima pendiente
- Diagramas de contorno
- Algoritmos más avanzados
- Mínimo, máximo y puntos silla
- Matriz positiva definida
- TEOREMA 1 Teorema de la función cuadrática
- Métodos de cuasiNewton
- Algoritmo de Nelder-Mead
- Método de recocido simulado
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 16.2
- Problemas de cómputo 16.2
- 17 Programación lineal
- 17.1 Formas estándar y dualidad
- Primera forma primal
- TEOREMA 1 Primera forma primal
- Ejemplo numérico
- Transformación de problemas en la primera forma primal
- Problema dual
- TEOREMA 2 Teorema de problemas primales y duales
- TEOREMA 3 Teorema de dualidad
- Segunda forma primal
- TEOREMA 4 Segunda forma primal
- Resumen
- Problemas 17.1
- Problemas de cómputo 17.1
- 17.2 Método simplex
- Vértices en K y columnas de A linealmente independientes
- TEOREMA 1 Teorema de vértices y vectores columna
- Método simplex
- ALGORITMO 1 Simplex
- Resumen
- Problemas 17.2
- Problemas de cómputo 17.2
- 17.3 Solución aproximada de sistemas lineales inconsistentes
- Problema l1
- Problema l8
- Resumen
- Referencias adicionales
- Problemas 17.3
- Problemas de cómputo 17.3
- Apéndice A Asesoramiento de buenas prácticas en programación
- A.1 Sugerencias de programación
- Casos prácticos
- Desarrollo de software matemático
- Apéndice B Representación de números en diferentes bases
- B.1 Representación de números en diferentes bases
- Base ß de números
- Conversión de partes enteras
- Conversión de partes fraccionarias
- Base de conversión 10 ? 8 ? 2
- Base 16
- Más ejemplos
- Resumen
- Problemas B.1
- Problemas de cómputo B.1
- Apéndice C Detalles adicionales de la aritmética de punto flotante del IEEE
- C.1 Más de la aritmética estándar de punto flotante del IEEE
- Apéndice D Álgebra lineal: conceptos y notación
- D.1 Conceptos elementales
- Vectores
- Matrices
- Producto matriz-vector
- Producto matricial
- Otros conceptos
- Regla de Cramer
- D.2 Espacios vectoriales abstractos
- Subespacios
- Independencia lineal
- Bases
- Transformaciones lineales
- Valores propios y vectores propios
- Cambio de base y similaridad
- Matrices ortogonales y teorema espectral
- Normas
- Proceso de Gram-Schmidt
- Respuestas a los problemas seleccionados
- Bibliografía
- Índice