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- Contenido
- Prefacio
- CAPÍTULO 1 La transformada de Laplace
- 1.1 Definición y propiedades básicas
- 1.2 Solución de problemas con valores iniciales usando la transformada de Laplace
- 1.3 Teoremas de corrimiento y la función de Heaviside
- 1.3.1 El primer teorema de corrimiento
- 1.3.2 La función de Heaviside y los pulsos
- 1.3.3 El segundo teorema de corrimiento
- 1.3.4 Análisis de circuitos eléctricos
- 1.4 Convolución
- 1.5 Impulsos unitarios y la función delta de Dirac
- 1.6 Solución de la transformada de Laplace de sistemas
- 1.7 Ecuaciones diferenciales con coefi cientes polinomiales
- CAPÍTULO 2 Series de Fourier
- 2.1 ¿Por qué las series de Fourier?
- 2.2 La serie de Fourier de una función
- 2.2.1 Funciones pares e impares
- 2.3 Convergencia de series de Fourier
- 2.3.1 Convergencia en los extremos
- 2.3.2 Un segundo teorema de convergencia
- 2.3.3 Sumas parciales de la serie de Fourier
- 2.3.4 El fenómeno de Gibbs
- 2.4 Series de Fourier en senos y cosenos
- 2.4.1 La serie de Fourier en cosenos de una función
- 2.4.2 La serie de Fourier en senos de una función
- 2.5 Integración y diferenciación de series de Fourier
- 2.6 La forma de ángulo fase de la serie de Fourier
- 2.7 Serie de Fourier compleja y el espectro de frecuencia
- 2.7.1 Revisión de los números complejos
- 2.7.2 Serie de Fourier compleja
- CAPÍTULO 3 La integral de Fourier y las transformadas de Fourier
- 3.1 La integral de Fourier
- 3.2 Integrales de Fourier en cosenos y senos
- 3.3 La integral de Fourier compleja y la transformada de Fourier
- 3.4 Propiedades adicionales y aplicaciones de la transformada de Fourier
- 3.4.1 La transformada de Fourier de una derivada
- 3.4.2 Diferenciación respecto a la variable de frecuencia
- 3.4.3 La transformada de Fourier de una integral
- 3.4.4 Convolución
- 3.4.5 Filtrado y la función delta de Dirac
- 3.4.6 La transformada de Fourier ventaneada
- 3.4.7 El teorema de muestreo de Shannon
- 3.4.8 Filtros de paso bajo y ancho de banda
- 3.5 Transformadas de Fourier en cosenos y senos
- 3.6 Las transformadas finitas de Fourier en senos y cosenos
- 3.7 La transformada discreta de Fourier
- 3.7.1 Linealidad y periodicidad
- 3.7.2 La TDF inversa de N puntos
- 3.7.3 TDF aproximación de los coeficientes de Fourier
- 3.8 Series de Fourier muestrales
- 3.8.1 Aproximación de una transformada de Fourier por una TDF de N puntos
- 3.8.2 Filtrado
- 3.9 La transformada rápida de Fourier
- 3.9.1 Uso de la TRF en el análisis de densidades de potencia espectral de señales
- 3.9.2 Filtrando ruido de una señal
- 3.9.3 Análisis de las mareas en la bahía del Morro
- CAPÍTULO 4 Funciones especiales, desarrollos ortogonales y onduletas
- 4.1 Polinomios de Legendre
- 4.1.1 Una función generadora para los polinomios de Legendre
- 4.1.2 Una relación recursiva para los polinomios de Legendre
- 4.1.3 Ortogonalidad de los polinomios de Legendre
- 4.1.4 Series Fourier-Legendre
- 4.1.5 Cálculo de los coefi cientes de Fourier-Legendre
- 4.1.6 Los ceros de los polinomios de Legendre
- 4.1.7 Fórmulas de la derivada y la integral para Pn(x)
- 4. 2 Funciones de Bessel
- 4.2.1 La función gamma
- 4.2.2 Funciones de Bessel de la primera clase y soluciones de la ecuación de Bessel
- 4.2.3 Funciones de Bessel de segunda clase
- 4.2.4 Funciones de Bessel modifi cadas
- 4.2.5 Algunas aplicaciones de las funciones de Bessel
- 4.2.6 Una función generadora para Jn(x)
- 4.2.7 Una fórmula integral para Jn(x)
- 4.2.8 Una relación recursiva para Jv(x)
- 4.2.9 Ceros de Jv(x)
- 4.2.10 Desarrollos de Fourier-Bessel
- 4.2.11 Coeficientes de Fourier-Bessel
- 4.3 Teoría de Sturm-Liouville y desarrollos en funciones propias
- 4.3.1 El problema de Sturm-Liouville
- 4.3.2 El teorema de Sturm-Liouville
- 4.3.3 Desarrollo en funciones propias
- 4.3.4 Aproximación en la media y la desigualdad de Bessel
- 4.3.5 Convergencia en la media y el teorema de Parseval
- 4.3.6 Completez de las funciones propias
- 4.4 Las onduletas
- 4.4.1 La idea detrás de las onduletas
- 4.4.2 Las onduletas de Haar
- 4.4.3 Un desarrollo en onduletas
- 4.4.4 El análisis de multirresolución con las onduletas de Haar
- 4.4.5 La construcción general de onduletas y el análisis de multirresolución
- 4.4.6 Las onduletas de Shannon
- CAPÍTULO 5 La ecuación de onda
- 5.1 La ecuación de onda y las condiciones inicial y en la frontera
- 5.2 Soluciones de la serie de Fourier de la ecuación de onda
- 5.2.1 Cuerda vibrante con velocidad inicial cero
- 5.2.2 Cuerda vibrante con velocidad inicial dada y desplazamiento inicial cero
- 5.2.3 Cuerda vibrante con desplazamiento y velocidad inicial
- 5.2.4 Verifi cación de las soluciones
- 5.2.5 Transformación de problemas con valores en la frontera que involucran la ecuación de onda
- 5.2.6 Efectos de las condiciones iniciales y las constantes en el movimiento
- 5.2.7 Solución numérica de la ecuación de onda
- 5.3 Movimiento de onda a lo largo de cuerdas infi nitas y semi-infi nitas
- 5.3.1 Movimiento de onda a lo largo de una cuerda infi nita
- 5.3.2 Movimiento de onda a lo largo de una cuerda semi-infi nita
- 5.3.3 Solución mediante la transformada de Fourier de problemas en dominios no acotados
- 5.4 Características y la solución de d’Alembert
- 5.4.1 Una ecuación de onda no homogénea
- 5.4.2 Ondas hacia adelante y hacia atrás
- 5.5 Modos normales de vibración de una membrana circular elástica
- 5.6 Vibraciones de una membrana circular elástica, vuelta a visitar
- 5.7 Vibraciones de una membrana rectangular
- CAPÍTULO 6 La ecuación de calor
- 6.1 La ecuación de calor y las condiciones iniciales y de frontera
- 6.2 Soluciones en serie de Fourier de la ecuación de calor
- 6.2.1 Extremos de la barra mantenidos a temperatura cero
- 6.2.2 Temperatura en una barra con extremos aislados
- 6.2.3 Distribución de temperatura en una barra con extremos que irradian
- 6.2.4 Transformaciones de los problemas con valores en la fronteraque involucran la ecuación de calor
- 6.2.5 Una ecuación de calor no homogénea
- 6.2.6 Efectos de las condiciones en la frontera y las constantes en la conducción de calor
- 6.2.7 Aproximación numérica de soluciones
- 6.3 Conducción de calor en un medio infinito
- 6.3.1 Conducción de calor en una barra infi nita
- 6.3.2 Conducción de calor en una barra semi-infi nita
- 6.3.3 Métodos de transformadas integrales para la ecuación de calor en un medio infinito
- 6.4 La conducción de calor en un cilindro infi nito
- 6.5 La conducción de calor en una placa rectangular
- CAPÍTULO 7 La ecuación del potencial
- 7.1 Las funciones armónicas y el problema de Dirichlet
- 7.2 Problema de Dirichlet para un rectángulo
- 7.3 El problema de Dirichlet para un disco
- 7.4 La fórmula de la integral de Poisson para el disco
- 7.5 Los problemas de Dirichlet en regiones no acotadas
- 7.5.1 El problema de Dirichlet para el semiplano superior
- 7.5.2 El problema de Dirichlet para el primer cuadrante
- 7.5.3 Un problema del potencial electrostático
- 7.6 El problema de Dirichlet para un cubo
- 7.7 La ecuación de calor en estado estacionario para una esfera sólida
- 7.8 El problema de Neumann
- 7.8.1 El problema de Neumann para un rectángulo
- 7.8.2 El problema de Neumann para un disco
- 7.8.3 El problema de Neumann para el semiplano superior
- CAPÍTULO 8 Geometría y aritmética de los números complejos
- 8.1 Los números complejos
- 8.1.1 El plano complejo
- 8.1.2 Magnitud y conjugado
- 8.1.3 División compleja
- 8.1.4 Desigualdades
- 8.1.5 Argumento y forma polar de un número complejo
- 8.1.6 Orden
- 8.2 Lugares geométricos y conjuntos de puntos en el plano complejo
- 8.2.1 Distancia
- 8.2.2 Círculos y discos
- 8.2.3 La ecuación z - a = z - b
- 8.2.4 Otros lugares geométricos
- 8.2.5 Puntos interiores, puntos frontera y conjuntos abiertos y cerrados
- 8.2.6 Puntos límite
- 8.2.7 Sucesiones complejas
- 8.2.8 Subsucesiones
- 8.2.9 Compactibilidad y el teorema de Bolzano-Weierstrass
- CAPÍTULO 9 Funciones complejas
- 9.1 Límites, continuidad y derivadas
- 9.1.1 Límites
- 9.1.2 Continuidad
- 9.1.3 La derivada de una función compleja
- 9.1.4 Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
- 9.2 Series de potencias
- 9.2.1 Series de números complejos
- 9.2.2 Series de potencias
- 9.3 Las funciones exponencial y trigonométricas
- 9.4 El logaritmo complejo
- 9.5 Potencias
- 9.5.1 Potencias enteras
- 9.5.2 z1/n para n entero positivo
- 9.5.3 Potencias racionales
- 9.5.4 Potencias zw
- CAPÍTULO 10 Integración compleja
- 10.1 Curvas en el plano
- 10.2 La integral de una función compleja
- 10.2.1 La integral compleja en términos de integrales reales
- 10.2.2 Propiedades de las integrales complejas
- 10.2.3 Integrales de series de funciones
- 10.3 Teorema de Cauchy
- 10.3.1 Prueba del teorema de Cauchy para un caso especial
- 10.4 Consecuencias del teorema de Cauchy
- 10.4.1 Independencia de la trayectoria
- 10.4.2 El teorema de deformación
- 10.4.3 Fórmula de la integral de Cauchy
- 10.4.4 La fórmula de la integral de Cauchy para derivadas superiores
- 10.4.5 Cotas en las derivadas y el teorema de Liouville
- 10.4.6 Un teorema de deformación extendido
- CAPÍTULO 11 Representación en serie de una función
- 11.1 Representación en serie de potencias
- 11.1.1 Ceros aislados y el teorema de la identidad
- 11.1.2 El teorema del módulo máximo
- 11.2 Desarrollo de Laurent
- CAPÍTULO 12 Singularidades y el teorema del residuo
- 12.1 Singularidades
- 12.2 El teorema del residuo
- 12.3 Algunas aplicaciones del teorema del residuo
- 12.3.1 El principio del argumento
- 12.3.2 Una fórmula de inversión para la transformada de Laplace
- 12.3.3 Evaluación de integrales reales
- CAPÍTULO 13 Mapeos conformes
- 13.1 Funciones como mapeos
- 13.2 Mapeos conformes
- 13.2.1 Transformaciones lineales racionales
- 13.3 Construcción de mapeos conformes entre dominios
- 13.3.1 Transformación de Schwarz-Christoffel
- 13.4 Funciones armónicas y el problema de Dirichlet
- 13.4.1 Solución a problemas de Dirichlet mediante mapeos conformes
- 13.5 Modelos de funciones complejas de flujo de fluido plano
- CAPÍTULO 14 Matrices y sistemas lineales
- 14.1 Matrices
- 14.1.1 Multiplicación de matrices desde otra perspectiva
- 14.1.2 Terminología y matrices especiales
- 14.1.3 Caminos aleatorios en cristales
- 14.2 Operaciones elementales entre filas
- 14.3 Forma escalonada reducida por filas
- 14.4 Espacios de filas y columnas
- 14.5 Sistemas homogéneos
- 14.6 Sistemas no homogéneos
- 14.7 Matrices inversas
- 14.8 Vectores de mínimos cuadrados y ajuste de datos
- 14.9 Factorización LU
- 14.10 Transformaciones lineales
- CAPÍTULO 15 Determinantes
- 15.1 Definición de un determinante
- 15.2 Evaluación de determinantes I
- 15.3 Evaluación de determinantes II
- 15.4 Una fórmula determinante para A-1
- 15.5 La regla de Cramer
- 15.6 Teorema árbol matriz
- CAPÍTULO 16 Eigenvalores, diagonalización y matrices especiales
- 16.1 Eigenvalores y eigenvectores
- 16.2 Diagonalización
- 16.3 Algunos tipos especiales de matrices
- 16.3.1 Matrices ortogonales
- 16.3.2 Matrices unitarias
- 16.3.3 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas
- 16.3.4 Formas cuadráticas
- Respuestas y soluciones a problemas seleccionados
- Índice
- Notación